サイクロトロン 運動。 サイクロトロン運動なんですけど

サイクロトロンとは?

サイクロトロン 運動

(重力子/グラビトンは未発見で、標準理論には含まれません。 最先端の超弦理論では、これをも含めすべて振動する「ひも」であるとします。 ) これらの素粒子をどのように発見してきたか、それに必要な検出器・加速器はどんなものかを知る展示物が国立科学博物館にはあります。 次節でその一部を 見ることとし、この節では、素粒子の概要を見ておきましょう。 ・大別すると、フェルミ粒子(スピン1/2)、ゲージ粒子(スピン1)、ヒッグス粒子(スピン0 の3種があります。 ・表中または図中、各粒子右肩の数値は電荷を示します。 陽子・中性子など複合粒子の電荷は、クォークの電荷の和で表されます。 ・物質粒子の同じ種類では、第1世代が最も軽く、第3世代がもっとも重くなります。 ニュートリノは他に比し軽く、特に電子ニュートリノは電子に比し極めて軽く"0"と置けるほどの質量しか有しません。 ・陽子・中性子など、3つのクォークからなる複合粒子(バリオン)には、この他に沢山の粒子があり、それらは、u,d の 他に、c,s,bクォークなどが関与します。 ・物質粒子には、それぞれ電荷が逆転しただけの反粒子が存在し、中間子(メソン)(図示していません)などは、粒子と 反粒子2つから成り立っています。 ・バリオンとメソンを合わせて、ハドロン(重粒子)と言います。 レプトン(軽粒子)と対比する名称です。 これら粒子の本来の性質や相互作用・反応などは、標準理論と言われる素粒子論によって定量的に説明できるとされています。 <参考>標準理論全体像 (左右の図は、NHK「神の数式」より入手したものです) <左は、CERNの石碑の碑文。 右は、その内容を少し詳しく解説したもの> 標準理論のエッセンスは、次の ラグランジアン密度の一式に集約されています。 これらの方程式を解けば、電子の持つ性質や電磁場の諸現象など応用面での問題 ex. を解き明かすことができるのです。 ) しかし、本格的に勉強するには専門書を紐解かなくては到底理解出来ませんが、そのアウトライン(と言っても数式だらけですが)でもと 思われる方は、をご覧ください。 下左図は、(拡散)霧箱と呼ばれる装置です。 素粒子物理学の研究は、このような装置(後には、泡箱へ、更には ATLAS などへと進化)を検出器として大きく発展することになりました。 右下図はそのおおまかな構成を示しています(右上図は装置を上から見た図)。 装置全体はアルコールで満たされており、 液体窒素で底面から冷却されています。 白っぽい線状痕ができる理由は一般的に次のように説明されます。 電荷を有する粒子が過冷却状態にあるアルコール中を通過するとき、空気の成分である窒素分子や酸素分子と衝突し、 それら分子内の電子を弾き飛ばすため分子はイオン化されます。 その結果周辺にいる極性物質であるアルコール分子が それらのイオンを核として凝集し霧が発生します。 弾き飛ばされた電子がまた次々と同様の現象を引き起こします。 この霧が粒子の軌跡となって見えるというのです。 <上右図は、原子イオンに凝集する水分子を示しており、中央に正イオンとなった原子があり、水分子の酸素(O)が若干負に 帯電している(こうした分子を極性物質といいます)ため、この部分が正イオンに惹かれて吸着します。 吸着した水分子の水素(H) は若干正に帯電しているため、この部分にまた水分子が吸着します。 次々とこのようなことが起こり、ある程度の大きさまで成長します。 これが霧として見えます。 また、磁場をかけた霧箱で観察すると、電子の飛跡はローレンツ力により湾曲して見えます。 極く偶には、正の電荷を持つ陽電子 が観察されることもあります。 (右上図破線の飛跡を参照してください)<原理はを参照してください> <散乱補足> 古典的散乱理論/ラザフォード散乱 イオン化の現象は、上記のようにビリヤードの玉の衝突として捉えると感覚的に分かり易いが、厳密な説明を するには、量子力学に基づいた多体系の複雑難解な散乱理論を必要とします。 散乱現象を理解するために、古典的散乱理論であるを簡単に紹介しておきましょう。 その巨視的状態を示したのが下右図です。 散乱は、巨視的にみれば1点から放射状に起きているように見えます。 その大きさを青線で示しています。 例えば直角方向 に散乱する粒子はおよそ1万ケの入射粒子に対し1ケ程度しかなく、ほとんど直進してしまいます)を観測すれば、 金の原子核の大きさの程度が分かるというものです。 この実験では、金の結晶内の原子であるから、金の原子核は移動しないと仮定できるでしょう。 しかし、一般的 に、自由電子同士などのような場合は双方が移動するのでそれらも考慮する必要があります。 更に、原子内電子が どこにいるかは確率的であるので、このような単純な理論では、霧箱での飛跡の解析を行うことはできませんが、 これと似たような機構で電子が原子外に弾き飛ばされてイオン化がおきるのです。 <イオン化のメカニズム補足> 電場とイオン化 高強度レーザーによるイオン化は、下図のように交番電場が、原子・分子内のポテンシャルを歪める結果として、 トンネル効果による電子の飛び出し トンネルイオン化)、もしくは零れ落ちが起きて、イオン化が起こるとされます。 このような観点から高速で移動する荷電粒子によるイオン化を説明することもあります。 下図右側2つは荷電粒子 小さい黒点)が静止している場合に対し高速で移動するときに移動方向に垂直な方向に電場が 強くなることを示しています。 は、特殊相対性理論を用いれば、移動方向に対して垂直の方向の値E yとして次のように表されます。 下左図は、サイクロトロンと呼ばれる装置です。 素粒子物理学の研究は、このような加速器を用いて、素粒子を高速で衝突させ、 その反応から素粒子の性質を深く理解してゆくことになりす。 (後には、シンクロトロン、大型直線加速器などと、高速化へと 発展します。 ) この装置では、陽子の加速を行います。 装置は2つの半円中空電極(D電極)を小さな隙間をあけて向き合わせています。 また、D電極の上下に電磁コイル 電磁石 を配置して、D電極に垂直方向に一様な磁場を掛けます。 荷電粒子は、D電極の中心から極くわずか離れた位置から水平方向に射出されます。 これらの電極には電圧がかけられていますが、電場は、その隙間にしかなく、ここを陽子が通過するときに陽子は加速されます。 勿論、加速を続けるためには、半周期毎に電場を逆転させなければなりません。 そのため、高周波正弦波形電圧を掛けます。 電極内では、電場がなく加速されませんが、電極面垂直方向にかけられた磁場のため、ローレンツ力により円運動を行います。 この結果、陽子は、中心から螺旋を描きながら外周に向かい、高速になったところで、取り出し口から外部に取り出され、 次の段階の装置である衝突器(兼検出器)に導かれます。 各種加速器の最高到達速度および用途を紹介しておきましょう。 (右図および下記数値は、陽子での関係を示します。 ) はこちらを参照して下さい。 ) <サイクロトロン> 数十MeV ex 10MeV : 対光速比:0. 143) 陽子・イオン <直線加速器> 数十GeV ex 10GeV :対光速比:0. 996 電子・陽子・イオン <シンクロトロン> 数TeV ex 7TeV :対光速比:0. 99999999 電子・陽子・イオン 以上がサイクロトロンの概要ですが、もう少し詳しく見てみましょう。 以下の議論については、「付録/理論編」を逐次参考にしてください。 概説では、「D電極内では電場がない」と説明しましたが、完全に導体で囲われた内部は確かに電場がありませんが、D電極のように 開口部がある場合には単純にそうとも言えません。 近似的境界条件でのを下図に示します。 (上段は、D電極の厚み中央で且つ D電極のギャップに垂直な直径に沿った電圧・電場分布を、中段は、D電極の厚み中央の断面での等電位線を、下段は、ギャップに垂直 な直径での断面での等電位線を示しています。 ) D電極の厚みが厚くなると電位分布の乱れはD電極内部まで及びますので、ある程度薄くする必要があります。 ある程度薄いD電極の場合、 等電位線は、D電極の外径近辺および上下面近傍では乱れてはいるものの、それ以外では大まかに言って一定としてもよさそうです。 特に、ギャップを上から見れば、等電位線は、どこでもギャップに平行であり、従い電場(等電位線に垂直)は、どこでもギャップに 垂直となります。 ただし、電場を無視できるのは、D電極の厚み程度以上離れた領域といえます。 電場は、おおよそこのようなものですので、ギャップの幅を実際のそれに厚みの2倍程度加えた値として計算する必要がありそうです。 問題となるのは、取り出し口から出射する荷電粒子の方向およびその方向のばらつきです。 その影響 はこちら)を示したものが下図です。 (左端は、 荷電粒子の入射タイミングに電圧(位相)が減速から加速方向に切り替わる場合の軌跡を表しています。 その右4つの図は、順次電圧の位相がずれた 時の様子を表しています。 例えば右から2番目は入射したときに電圧が加速から減速方向に変化しています。 また、取り出し口での、荷電粒子の 位置・方向は、位相差により、またギャップ幅により、微妙に変化しているのが分かると思います。 図示していませんが、最初の入射位置を上方へずらせば、回転中心も上方へずれて、 出射角度は接線方向よりも内側になることは容易に理解できるでしょう。 このように、様々な電圧変化タイミングに入射された荷電粒子の出射角 は様々に変化します。 できるだけ多く粒子を目的の角度(図では接線方向とした)で出射するように、入射位置やギャップ幅を決定しなければ なりません。 この他に、荷電粒子の入射速度に厚み方向成分がある場合は、一様磁場では復元力がなく厚み方向に飛び続けることになり、出射粒子数が減少 することになります。 これを改良するために、電磁石の芯材の形状に工夫を凝らし、その湾曲した磁場で厚み中央に保つ(フォーカシング) ようなことも行う必要があります。 最後に、実機規模の装置での陽子の加速での値を示しておきましょう。 装置の諸元も右図に示しておきましたが、このような装置 (加速容量:8. 5MeV で、光速の1割強程度まで加速することができます。 濃い緑は速度ベクトルを表しており、赤紫の点は電圧正負の切り替えタイミングを表しています。 (従い、矩形波電圧を想定した単純計算が成り立ちます) なお、磁場1テスラ T というのは、一般的なスピーカーの磁場程度、ネオジム磁石程度(1. 25T だそうです。 電源周波数は、16MHzです。 これまでの議論は、荷電粒子の速度が光速に比し小さい場合にのみ適用できます。 これまでの議論であれば 取り出し口の半径のみ大きくとれば、光速は勿論、光速以上の速度が得られることになります。 この説明では、 同じエネルギーで加速されても、光速に近くなるほど重くなるので速度が遅くなるとします。 (直観的理解には役に立ちますが、 正確には質量は変化しません。 黒や赤紫の塗りつぶし小円は、電圧の正負が切り替わる タイミングを表しています。 黒丸が古典理論による計算、赤紫丸が相対性理論による計算結果です。 66倍程度となります。 42倍程度が限界となります。 この間の値が限界なのでしょう。 正確な限界を知りませんが,或るところには、0. 596倍と言う数字がありますが、 これが正解ならば、磁場の非一様性などの影響も大きいということかもしれません。 サイクロトロンは、加速に固定周波数の交番電源を用いるため、原理的に光速に極めて近い速度まで加速することが 出来ません。 これゆえ、後の加速器は、一定の磁場ではなく荷電粒子の速度とともに磁場を変化させて円形軌道をとらせ、 また、高周波電圧も一定の周波数ではなく、粒子の動きに同調して周波数を増加させるようにした高周波電圧を用いるように なります。 このような装置をシンクロトロンといいます。 有名なシンクロトロンとしてCERN/LHCがあり、陽子の場合、光速の 0. 99999999倍まで加速できます。 それ以上では、円形軌道に起因する、荷電粒子からの制動放射(加速度による電磁放射 :1周あたり のロスは質量の4乗に反比例・半径の2乗に反比例)による加速限界があらわになる(特に電子で顕著 )ため、 最近では、巨大な直線加速器が計画されています。 右図のように、座標原点にいる標的(原子番号Z2、電荷q2 に向かって、粒子(原子番号Z1、電荷q1、質量m がx軸方向に接近する場合を考える。 粒子は、標的から、以下のクーロン力を受ける。 一方、粒子の遠方での速度をvとすると、角運動量Lは、mvbであるから、 従い、粒子の運動方程式は、以下の1つの方程式で表される。 テンソル計算(同じ記号を有するものはその組み合わせの総和をとるという アインシュタイン規約)、 行列計算では、次のような計算を行う。 このことを、 ローレンツ対称性(ローレンツ共変性、またはローレンツ不変性)という。 電磁場(電場 E,磁場 B中の荷電粒子(電荷 q 、質量 m )は、速度 vで移動する場合、次のローレンツ力を受けて運動する。 粒子の速度が光速に近くなると、相対論的な解析を必要とする。 その方程式は、古典論と異なり、次のようになる。 ただ、短時間の挙動ならばそこそこ解けると言えよう。 vがcに比し極めて小さければ v<<c であれば 、前述の古典論の式となる。 こうして全ての点の値が得られているので、第2近似として、隣り合った6点 水色点線部)を使い上式で値を求め直すと、すべての点の第2近似が得られる。 これ以降、前回までの値を使い、隣り合った6点から、順次高位の近似値を求めると、所要の解が得られる。 サイクロトロンのD電極内の電位分布を求めるには、右図のような分割をおこない、境界をD電極表面およびギャップの上下面および外径側面とする。 このようなギャップ部表面の近似的境界条件を用いれば解が得られる。 速度v、質量mの物質の有するエネルギーE v は、相対性理論によれば、光速を c として、次式で与えられる。 初期速度を小さいとして無視すると、静止状態からの式が使えて、Gとvの関係は、相対論並びに古典論に対して、次式となる。

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一様な磁場と電場中の運動

サイクロトロン 運動

固体中の電子の有効質量と輸送現象 吉野治一 このページは「1997年 有機固体若手の会 夏の学校 連続講義『有効質量』基礎編」のテキストとして作成されました. 以下に3種類の異なる定義の有効質量の導出と代表的な電気物性との関連をまとめます. 参考文献は「J. 1 ・電子波の波束に対する群速度の公式 1. 2 三次元の場合 1. 3 ・外力による k の変化 外力によるエネルギーの変化 エネルギー保存則 1. 4 の変化が k の変化によると仮定 1. 5 ・有効質量 外力と速度の変化の関係. 1. 2 , 1. 3 より, 1. 6 ニュートンの運動方程式, 1. 7 と 1. 8 1. 1 は 1. 1 ・分極によって生じる電場 E 2. 2 ・各電荷の運動方程式は, 2. 3 となり,これは, 2. 2 自由電子の場合 3. 4 これにちなんで,一般の場合のサイクロトロン質量 m c を次式で定義する. 3. 3 , 3. 5 より, 3. 7 なので, A を H に垂直な平面内の軌道によって囲まれた領域の面積とすれば, 3. 1 はFermi 分布関数. k についての積分を等エネルギー面上の積分と面に垂直な方向の積分で書き換える. 4. 2 したがって, 4. 3 と近似し, とおくとテンソルはスカラーとなり, 4. 4 等エネルギー面が球形の場合, と置くことができて, 4. 6 これより, したがって, 4. 5 より Drudeの公式を得る. 4. 1 一次元では, 添字は省略 5. 2 Fermi分布関数のエネルギー積分に関する一般的な定理 5. 3 を用いると, K 0 と K 1 は次のように書くことができる. 5. 4 したがって, 5. 5 また, 1. 3 より, 5. 6 ということがわかる.したがって 5. 5 と 5. 6 より次式を得る. 5. 7 5. 7 の括弧の中の第一項の形で,1の有効質量が取り込まれることがわかる. ・おまけ tight-binding近似を用いた一次元金属の熱電能 P. Chaikin et al. : Phys. Rev. B13 1976 1627 サイト間のトランスファー積分を t と置くと,分散関係は次式のように書ける. 5. 8 したがって, 5. 10 したがって, 5. 11 5. 11 を 5. 7 に代入し, の範囲では が一定だと仮定すると次式を得る. 5. 12 この節の参考文献 A. Pippard, "Magnetoresistance in Metals" Cambridge, 1989 絶版 有効質量近似で次のような分散関係を仮定する. 半導体等の場合に相当. 6. 1 z 方向の磁場 H があるときの電子の運動方程式 6. 2 したがって, 6. 4 x 方向のパルス電場を掛けると変化するのは k 0 x なので, 6. 4 の k 0 y の項を無視する.そのとき,パルス電場を掛けた後の電流の時間変化を緩和時間近似を用いて記述すると次式のようになる. 6.

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キッズサイエンティスト【サイクロトロン】

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固体中の電子の有効質量と輸送現象 吉野治一 このページは「1997年 有機固体若手の会 夏の学校 連続講義『有効質量』基礎編」のテキストとして作成されました. 以下に3種類の異なる定義の有効質量の導出と代表的な電気物性との関連をまとめます. 参考文献は「J. 1 ・電子波の波束に対する群速度の公式 1. 2 三次元の場合 1. 3 ・外力による k の変化 外力によるエネルギーの変化 エネルギー保存則 1. 4 の変化が k の変化によると仮定 1. 5 ・有効質量 外力と速度の変化の関係. 1. 2 , 1. 3 より, 1. 6 ニュートンの運動方程式, 1. 7 と 1. 8 1. 1 は 1. 1 ・分極によって生じる電場 E 2. 2 ・各電荷の運動方程式は, 2. 3 となり,これは, 2. 2 自由電子の場合 3. 4 これにちなんで,一般の場合のサイクロトロン質量 m c を次式で定義する. 3. 3 , 3. 5 より, 3. 7 なので, A を H に垂直な平面内の軌道によって囲まれた領域の面積とすれば, 3. 1 はFermi 分布関数. k についての積分を等エネルギー面上の積分と面に垂直な方向の積分で書き換える. 4. 2 したがって, 4. 3 と近似し, とおくとテンソルはスカラーとなり, 4. 4 等エネルギー面が球形の場合, と置くことができて, 4. 6 これより, したがって, 4. 5 より Drudeの公式を得る. 4. 1 一次元では, 添字は省略 5. 2 Fermi分布関数のエネルギー積分に関する一般的な定理 5. 3 を用いると, K 0 と K 1 は次のように書くことができる. 5. 4 したがって, 5. 5 また, 1. 3 より, 5. 6 ということがわかる.したがって 5. 5 と 5. 6 より次式を得る. 5. 7 5. 7 の括弧の中の第一項の形で,1の有効質量が取り込まれることがわかる. ・おまけ tight-binding近似を用いた一次元金属の熱電能 P. Chaikin et al. : Phys. Rev. B13 1976 1627 サイト間のトランスファー積分を t と置くと,分散関係は次式のように書ける. 5. 8 したがって, 5. 10 したがって, 5. 11 5. 11 を 5. 7 に代入し, の範囲では が一定だと仮定すると次式を得る. 5. 12 この節の参考文献 A. Pippard, "Magnetoresistance in Metals" Cambridge, 1989 絶版 有効質量近似で次のような分散関係を仮定する. 半導体等の場合に相当. 6. 1 z 方向の磁場 H があるときの電子の運動方程式 6. 2 したがって, 6. 4 x 方向のパルス電場を掛けると変化するのは k 0 x なので, 6. 4 の k 0 y の項を無視する.そのとき,パルス電場を掛けた後の電流の時間変化を緩和時間近似を用いて記述すると次式のようになる. 6.

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