外積 公式。 ベクトルの内積(スカラー積)と外積(ベクトル積)の成分表示

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外積 公式

外積の図形的な意味 外積は, 与えられた2つのベクトルと直交し, 大きさが「もとの2つのベクトルが作る平行四辺形の面積」に等しい ようなベクトルであることが知られています。 それぞれ詳しく説明します。 という性質があります。 つまり、二つの空間ベクトルが与えられたとき、 それら両方ともに直交するベクトルを素早く求めるときに外積が使えるということになります。 という性質があります。 つまり、二つの空間ベクトルが与えられたとき、 それらが張る平行四辺形の面積を素早く求めるときにも外積が使えるということになります。 ベクトルの外積と内積の違い 外積は,2つのベクトルに対して ベクトルを対応させます。 内積は,2つのベクトルに対して スカラーを対応させます。 外積は,2つのベクトルが 両方とも三次元の場合にのみ定義されます。 内積は,2つのベクトルの 次元が等しければ何次元でも定義できます。 外積の微分公式 ベクトル解析の公式です(大学の力学、電磁気で使います)。 積の微分公式を使って成分ごとに計算すれば証明できます。 関連: 次回は を解説します。

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ベクトルの外積の定義、図形的な意味、微分の公式

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…… 8. 上式でi1〜inは1〜nの1つの順列であり、上式の項は全部でn! 個ある。 置換のうち1組の添字iとjを入れかえただけのものを「互換」という。 置換は互換を何回か行ったものであり、偶数回行ったものを 偶置換、奇数回行ったものを 奇置換という。 ただしこの公式は4次以上の行列式には適用できない。 …… 8. 2 …… 8. 3 何だかやたらと複雑でわけのわからない定義だと思いますが、この定義どおり計算することはほとんどないのでご安心ください。 | X|の i,j 余因子をX ijと表すと次のようになります。 しかし物理学などではよく利用されるので、覚えておいても損はないでしょう。 行列式の理論は、連立方程式の解法に関連して江戸時代の天才的数学者である関孝和によって最初に発見され、その150年ほど後にヨーロッパで独自に発見されました。 僕もこの見解に賛成です。 ここで、逆行列を利用してn元連立1次方程式を解いてみましょう。 これは統計学分野でよく利用される方法です。 このように、外積は結果がベクトルになることから ベクトル積 vector product とも呼ばれます。 同様に3つの3次元ベクトル x、 y、 zの外積は、3次元ベクトル空間において原点、 x、 y、 z、[ x+ y]、[ y+ z]、[ z+ x]、[ x+ y+ z]で作られる平行6面体の体積に、それらのベクトルの角度によって正・負の符号を付けたものになります。 そして図12からも直観的にわかると思いますが、n個のベクトルの中に同じ向きのものがあったり、他のベクトルの1次結合で表されるものがあったりすると、超立体の体積は0になり、外積も0になります。 つまり外積が0にならないベクトルの組は、1次独立なベクトルの組すなわちベクトル空間の基底なのです。 これが行列が正則の時は行列式が0以外の値になり、行列が特異の時は行列式が0になる理由です。 外積は、磁場の中に電場が存在する時、それらの垂直方向に力場が生じる現象を記述するために工夫された演算子であり、力学的には 右ねじを回転した時に生ずる進む力のモーメントに相当します。 そのため物理学以外ではあまり利用されませんが、物理学に興味のある人は覚えておくと便利です。 ちなみに内積は、力学的には物体に対してある方向に力を加え、その物体がある方向にある距離だけ移動した時の仕事量に相当します。

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スカラー三重積とベクトル三重積

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.内積( 1定義 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4 5 ) ベクトルの内積(スカラー積)と外積(ベクトル積)の成分表示 ベクトルの 内積(スカラー積とも言う)と 外積(ベクトル積とも言う)の成分表示を説明します。 この稿では文章中で ベクトルを表すときには 太字のアルファベット文字を用いることにする。 そして普通 などで表す。 この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。 .( 1 2 3 4 5応用 ) 2.( 1 2 3 4 5 ) (5)応用 前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。 また、これが成り立ては Aと Bは互いに垂直です。 .余弦定理 さらに、下図の様な三角形の各辺の長さについて が成り立つことが直ちに言えます。 すなわち となる。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.外積( 1定義 2 3 4 5 ) 2.外積(ベクトル積) 外積についても、内積と同様な手順で説明できます。 このき、そのベクトルの方向が Aから Bに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を で表し、 Bから Aに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を で表すことにする。 つまり演算の順序が異なると、その結果を表すベクトルの方向は逆転する。 この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2法則 3 4 5 ) (2)外積が満たす代数的性質 前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。 [証明] (1)が成り立つことは外積の定義より明らか。 また(3)が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、外積の定義より明らか。 以下で(2)が成り立つことを証明する。 ベクトル A、 B、 Cを下記の様なものだとする。 今、上図の様な、ベクトル Bと Cを含みベクトル Aに平行な面を持つ 平行六面体の角柱OBDCAEGFを考える。 つまり が成り立つ。 [終わり] .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4成分表示 5 ) (4)外積の成分表示 前々節と前節の結論を用いれば、外積の成分表示が直ちに導かれる。 この関係式はとても重要です。 特に 剛体の力学を論じるとき必須の公式となります。 [] このとき、この成分表示で示されるベクトルの大きさが、実際にベクトル Aとベクトル Bが作る平行四辺形の面積である事は直ちに確認できる。 [] 上で説明した様にベクトル積 の大きさはベクトルAとベクトルBが作る平行四辺形の面積でした。 そのため上記の式とベクトル i との内積 は前述の平行四辺形をyz平面へ射影した図形の面積となります。 同様に は前述の平行四辺形をzx平面へ射影した図形の面積であり は前述の平行四辺形ををxy平面へ射影した図形の面積となります。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4 5応用 ) (5)応用 前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。 つまり外積の演算の結合順序を変えると異なったベクトルとなる。 これは外積の定義に従って実際にベクトルを求めてみれば直ちに明らかになることです。 .平行六面体の体積 下記の様な三つのベクトル A、B、Cで構成される平行六面体の体積は直ちに求まる。 内積と外積の定義より の関係が成り立ちます。 これは行列式 に等しい。 ここでベクトル A、B、Cは互いに右手回りのサイクリックな関係になっていることに注意。 もし Cが Aと Bが作る平面に対して図の反対側にあれば、スカラー三重積の値は負になる。 [] 上記平行六面体の体積をVとすると、その2乗V 2は となる。 ところで、別ページで説明する行列式の性質[]と[]から (1)転置行列の行列式は元の行列の行列式の値と同じ。 (2)2つの行列の積を作り、その行列式の値を計算すると、それは元の2つの行列の行列式を計算して乗じたものに等しい。 が成り立つ。 そのため上記の関係は以下のように変形できる。 一般相対性理論ではV 2は基本計量テンソルg ijの行列式で表される。 このことについては別稿を参照されたし。 .スカラー三重積の性質 i、j、kを右手直交座標系の単位ベクトルとすれば、直ちに が言える。 次に、下記のいずれの表現も、同一の平行六面体の体積を示しているので、直ちにこれらの関係式が成り立つことが言える。 また、内積(スカラー積)の交換の法則を上式に適用すると が言える。 このときベクトル A、B、Cの順番はサイクリックに回さなければならないことに注意。 上記の二式と内積、外積の交換法則により、[ A,B,C]の任意の二つの順番を入れ替えると符号が変わることが解る。 このとき前項と前々項の結論を用いれば が成り立つ。 ここで A=C、 B=Dのときには が成り立つ。

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